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Das Forschungsvorhaben behandelt in mehreren Teilprojekten qualitative Eigenschaften zeitlich nichtlokaler nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (PDG). Eine wichtige Klasse stellt dabei die der zeit-fraktionalen Diffusionsgleichungen dar. Solche Gleichungen treten z.B. bei der Modellierung von anomalen Diffusionsvorgängen und dynamischen Prozessen in Materialien mit Gedächtnis auf und haben in den letzten Jahren ein verstärktes Interesse erfahren. Ein Schwerpunkt des Projekts besteht darin, die im subdiffusiven Fall (d.h., die Zeitordnung α ist kleiner als 1) bereits teilweise entwickelte De Giorgi-Nash-Moser-Theorie substanziell auszubauen und auf verschiedene allgemeine Klassen von quasilinearen parabolischen nichtlokalen PDG auszudehnen. Dabei sollen u.a. auch raum-zeit-fraktionale Gleichungen sowie entartete und singuläre zeit-fraktionale Subdiffusionsgleichungen untersucht werden. Als Hauptziel sollen Regularitätsaussagen für schwache Lösungen dieser Probleme hergeleitet und, damit eng verknüpft, gewisse Harnack-Ungleichungen nachgewiesen werden. Daneben soll in einem Teilprojekt auch der noch schwierigere superdiffusive Fall (hier ist α ∈ (1, 2)) ansatzweise untersucht werden. Ein weiterer Schwerpunkt des Forschungsvorhabens ist das Studium des Langzeitverhaltens von globalen Lösungen gewisser Klassen zeitlich nichtlokaler parabolischer und hyperbolischer PDG. Das Augenmerk gilt dabei der Stabilität von Gleichgewichtspunkten, Abklingeigenschaften und der Konvergenz gegen Equilibria. Dazu sollen u.a. geeignete Energieabschätzungen und Ljapunov-Funktionen gefunden und das Prinzip der linearisierten Stabilität auf quasilineare zeit-fraktionale Gleichungen übertragen werden.